VWO Wiskunde B Examen 2019

Lijnen door de oorsprong en een cirkel

Gegeven is cirkel c met middelpunt (1,7) en straal 5.
\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} is een vectorvoorstelling van een lijn k door de oorsprong.
Lijn k snijdt cirkel c in twee punten.

1. Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.

Voor p \ge 1 is de functie f\scriptstyle p gegeven door:

f\scriptstyle p (x) = p + \sqrt{x-p}

In figuur 1 is voor enkele waarden van p de grafiek van f\scriptstyle p weergegeven en ook lijn k met vergelijking y = x + {1 \over 4}.

Figuur 1

Lijn k raakt de grafiek van f\scriptstyle p voor elke waarde van p \ge 1.

3. Bewijs dit.

Voor p \ge 1 is de functie f\scriptstyle p gegeven door:

f\scriptstyle p (x) = p + \sqrt{x-p}

In figuur 1 is voor enkele waarden van p de grafiek van f\scriptstyle p weergegeven en ook lijn k met vergelijking y = x + {1 \over 4}.

Figuur 1

Lijn k raakt de grafiek van f\scriptstyle p voor elke waarde van p \ge 1.

Voor p \ge 1 heeft de grafiek van f\scriptstyle p een randpunt, ook wel beginpunt genoemd. De randpunten van de grafieken in figuur 1 zijn met een stip aangegeven.

Er geldt voor elke p \ge 1: het randpunt van de grafiek van f\scriptstyle p ligt op de grafiek van f\scriptstyle p-1.

4. Bewijs dat inderdaad voor p \ge 1: het randpunt van de grafiek van f\scriptstyle p ligt op de grafiek van f\scriptstyle p-1.

f\scriptstyle p (x) = p + \sqrt{x-p}

Punt A(1,1) is het randpunt van de grafiek van f/scriptstyle 1. Punt B(2,2) is het randpunt van de grafiek van f/scriptstyle 2. B ligt dus op de grafiek van f/scriptstyle 1.
Door de punten A en B gaat een lijn l.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn l en de grafiek van f/scriptstyle 1.
Zie figuur 2.

5. Bereken exact de oppervlakte van V.